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Die Kettenlinie

   
Die Aufhängepunkte können mit der Maus verschoben werden
Kettenlinie ———     Exponentialfunktionen ———
Parabelbogen gleicher Länge ———
Kettenlänge: der Bildbreite

 

Die Kurve, die eine zwischen zwei Punkten frei hängende Kette beschreibt, scheint auf den ersten Blick eine Parabel zu sein. Sogar Galileo Galilei hielt sie dafür. 1646 konnte der damals erst siebzehnjährige Christian Huygens (1629-1695) beweisen, daß das nicht sein kann, ohne jedoch die richtige Funktionsgleichung für die Kurve zu finden.

Im Jahre 1690 stellte Jakob Bernoulli in den Acta eruditorium die Herausforderung in den Raum: „Man finde die Kurve, die von einer an zwei festen Punkten frei hängenden Kette angenommen wird.” Im Juni des folgenden Jahres wurden drei unabhängig voneinander gefundene richtige Lösungen veröffentlicht: vom (mittlerweile zweiundsechzigjährigen) Huygens, der die Kurve catenary nannte, von Gottfried Wilhelm Leibniz und von Johann Bernoulli, der der Kurve den Namen vélaire gab. Johann war der Bruder Jakobs.

Alle drei fanden, daß die Kettenlinie eine Funktion der Form y = (ea x + e-a x)/(2a) ist, also die Summe einer Exponentialfunktion und ihres Kehrwertes (bzw. ihrer Spiegelung an der y-Achse). Hierbei läuft die y-Achse durch den tiefsten Punkt der Kette.

Im Applet rechts oben wird die Kettenlinie berechnet und dargestellt. Die Aufhängepunkte der Kette können mit der Maus verschoben werden. Optional können die beiden achsensymmetrischen Exponentialfunktionen zugeschaltet werden, deren Summe die Kettenlinie ist. Außerdem kann ein Parabelbogen gleicher Länge angezeigt werden. Hierbei zeigen sich sowohl die relative Ähnlichkeit der Kurven, als auch der kleine, aber feine Unterschied.

Bei der o.g. Gleichung y = (ea x + e-a x)/(2a) ist vorausgesetzt, daß der tiefste Punkt der Kurve auf der y-Achse liegt und diese bei y=1/a schneidet, was natürlich in den seltensten Fällen bei frei gegebenen Koordinaten zutrifft. Außer der Konstante a sind also noch geeignete Verschiebungen zu finden, um die Kurve aufgrund gegebener Länge und gegebener Endpunkte zu berechnen. Das Applet findet die Konstante a mithilfe des Newtonverfahrens. (Im Anhang ist eine Näherungsformel eigener Produktion zu finden, die selbst schon brauchbare Werte liefert). Gesucht wird die positive Nullstelle von (eξ - e-ξ)/(2ξ) - √(L2 - (y1-y0)2)/(x1-x0), wobei (x0|y0) und (x1|y1) die Koordinaten der Endpunkte sind (mit x0<x1), L die Kettenlänge und ξ:=a/2·(x1-x0).

Die beiden Konstanten b und c in y = (ea(x - b) + ea(b - x))/(2a) + c, der allgemeinen Gleichung der Kettenlinie, werden schließlich durch explizite Formeln über die gegebenen Randbedingungen gefunden (siehe unten im Anhang).

1. Hinweis
Die Berechnung der Parabel ist überraschenderweise keineswegs einfacher als die der Kettenlinie. Die verwendete Gleichung, mit der über ein Intervallschachtelungsverfahren der quadratische Koeffizient a der Parabel  p(x) = ax² + bx + c  approximiert wird, wurde gewonnen aus der Bogenlänge L der Parabel  L = ∫ √(1+(2ax+b)²)dx in den Grenzen von x0 bis x1 (den x-Koordinaten der Aufhängepunkte), wobei b durch (a(x0+x1)(x0-x1)-y0+y1)/(x1-x0) ersetzt wird, welches sich aus dem Gleichungssystem {ax0²+bx0+c=y0 | ax1²+bx1+c=y1} ergibt. Die zu lösende Gleichung ist im Anhang mitgeteilt.

2. Hinweis
Vorsicht: Die Kette kann zerreißen, wenn man sie zu oft überspannt! Zum Reparieren hier klicken: ☹⇒☺.

Literatur/Quellen:

© Arndt Brünner, 12. 3. 2004
Version: 15. 1. 2005, (28.5.2009)
eMail: arndt.bruenner@t-online.de
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Anhang

Ein geeigneter Startwert für ξ im Newtonverfahren, der gleichzeitig eine recht gute Approximation darstellt (vergleiche Berechnungsbeispiel unten), wird für k:=ln(√(L²-(y1-y0)²)/(x1-x0)) gegeben für 0 ≤ k ≤ 3  durch:
ξ0 = 2,40130800537·√k - 0,0101136922245·k³ + 0,100480409267·k² + 0,194430685551·k
oder für 3 ≤ k ≤ 4,6 durch:  ξ0 = 2,34700936722314·√k - 0,000043201861135·k5 + 0,001061518500719·k4 - 0,011778515031033·k3 + 0,084808573148006·k2 + 0,263009458977759·k

Dann ergeben sich
a = 2ξ/(x1-x0) 
b = (x0+x1)/2 - ln((√(exp(2·a·x0) + exp(a·(x0 + x1))·(a2·(y1 - y0)2 - 2) + exp(2·a·x1)) + a·exp(a·(x0/2 + x1/2))·(y1 - y0))/(exp(a·x1) - exp(a·x0)))/a
c = -(exp(a·(b-x0))+exp(a·(x0-b)))/(2a) + y0

Zur Kontrolle kann die entsprechende Bogenlänge berechnet werden:
L = exp(a·b)(exp(-a·x0)/(2a)-exp(-a·x1)/(2a))+exp(-a·b)·(exp(a·x1)/(2a)-exp(a·x0)/(2a)) 

Berechnungsbeispiel mit Näherungswert für ξ nach o.g. Formel:

geg.: x0 = -1        x1 = 2         y0 = 5         y1 = 3       L = 7

k = ln(√(L2-(y1-y0)2)/(x1-x0))  = ln(√(49-(-2)2)/3) = 0,80471895621705
ξ = 2,40130800537·√k - 0,0101136922245·k3 + 0,100480409267·k2 + 0,194430685551·k 
  = 2,37038048657715
a = 2ξ/(x1-x0) = 2·2,37038048657715/3 = 1,5802536577181
b = (x0+x1)/2 - ln((√(exp(2·a·x0) + ...
  = 0,685853230556717
c = -(exp(a·(b-x0))+exp(a·(x0-b)))/(2a) + y0 = 0,4360682810323539
L'= exp(a·b)(exp(-a·x0)/(2a)-exp( ...
  = exp(1,5802536577181·0,685853230556717)·(exp(-1,5802536577181·(-1))/(2·1,5802536577181)-exp(...
  = 7,00446000601806

Beachte die Abweichung zu L=7 (0,064%)!

Gleichung für die Berechnung des quadratischen Koeffizienten der Parabel
bekannt sind wieder x0, x1, y0, y1 und L. Approximiert werden muß die positive Lösung für a der folgenden Gleichung, die das aufgelöste, o.g. Integral, also die Bogenlänge der Parabel ist:
L=((x0-x1)·ln((√(a2·(x0-x1)2·(x02-2·x0·x1+x12)+2·a·(x0-x1)2·(y1-y0)+x02-2·x0·x1+x12+(y0-y1)2)-a·(x0-x1)2+y0-y1)/(√(a2·(x0-x1)2·(x02-2·x0·x1+x12)+2·a·(x0-x1)2·(y0-y1)+x02-2·x0·x1+x12+(y0-y1)2)+a·(x0-x1)2+y0-y1))/(4·a)+((a·(x0-x1)2-y0+y1)·√(a2·(x0-x1)2·(x02-2·x0·x1+x12)+2·a·(x0-x1)2·(y1-y0)+x02-2·x0·x1+x12+(y0-y1)2)+(a·(x0-x1)2+y0-y1)·√(a2·(x0-x1)2·(x02-2·x0·x1+x12)+2·a·(x0-x1)2·(y0-y1)+x02-2·x0·x1+x12+(y0-y1)2))/(4·a·(x1-x0)))/(x1-x0)
Etwas angenehmer wird die Sache, wenn x1 durch x0+dx und y1 durch y0+dy ersetzt werden:
L=(-dx·ln((√(a2·dx4+2·a·dx2·dy+dx2+dy2)-a·dx2-dy)·(√(a2·dx4-2·a·dx2·dy+dx2+dy2)-a·dx2+dy)/dx2)/(4·a)+(a·dx2-dy)·√(a2·dx4-2·a·dx2·dy+dx2+dy2)/(4·a·dx)+√(a2·dx4+2·a·dx2·dy+dx2+dy2)·(dy/(4·a·dx)+dx/4))/dx

Achtung:
Es kann keine Garantie oder Gewährleistung für Schäden, die durch die Anwendung der Informationen auf dieser Seite (speziell der Näherungsformel) entstehen, übernommen werden!
Dies gilt zwar für die gesamte Homepage, aber wegen der technischen Bedeutung der Kettenlinie weise ich hier besonders darauf hin.