Auf dieser Seite wird die Krümmung einer Kurve in Abhängigkeit von ihrer Länge dargestellt.
Die Kurve kann als Funktion f(x) oder jeweils in x- und y-Koordinaten parametrisiert (dabei t als Parameter verwenden!)
angegeben werden. Das Programm benötigt den Startwert für x bzw. t und die zu verfolgende Kurvenlänge
(das ist im allgemeinen nicht die Obergrenze für x bzw. t).
Die Skalierung für die Kurven- bzw. synonym Bogenlänge (L) hat den Ursprung bei x=0 bzw. t=0 (falls im dargestellten
Bereich) sonst oder optional immer bei x0 bzw. t0.
Verschieben und Zoomen kann in beide Achsenrichtungen mit der Maus bewerkstelligt werden.
Man sieht hier beispielsweise, wie problematisch es wäre, Straßenkurven mit Polynomfunktionen zu modellieren, denn man ist gewohnt,
das Lenkrad gleichmäßig zu drehen, was einen linearen Anstieg der Krümmungen erfordert.
(Mehr dazu unten.)
Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius', also des Radius' desjenigen Kreises,
der sich einer Kurve im betreffenden Punkt genau anschmiegt.
Sie ist bei Funktionen f(x) nicht etwa identisch mit der zweiten Ableitung f''(x),
wie insbesondere in der Schule oft zu simplifizierend behauptet wird,
sondern hat den Wert K(x)=f''(x)/(1+f'(x)2)3/2.
Bei parametrisierten Kurven (x(t)|y(t)), in denen x- und y-Koordinate jeweils von einem
Parameter t abhängen,
gilt: K(t)=|M|/((∂x/∂t)2+(∂y/∂t)2)3/2 mit |M| als Determinante
der Matrix , also |M|=x'y''-x''y'
und damit K=(x'y''-x''y')/((x')2+(y')2)3/2 (x', x'', y' und y''
sind dabei jeweils Ableitungen nach dem Parameter t).
Eine gute Näherung von im Straßenbau aus o.g. Grund üblichen Klothoiden wird
zum Beispiel im Intervall -1<t<1
durch die Parametrisierung der Taylorreihenentwicklung (x(t)=t^9/216-t^5/10+t,
y(t)=t^3/3-t^7/42) gegeben, der Krümmunganstieg ist hier in diesem Bereich nahezu linear.
Für f(x)=x³ ist der Krümmungsanstieg in der Nähe von x=0 ebenfalls annähernd linear, und tatsächlich werden
Übergangsbögen im Schienenbau bei großem Endkrümmungsradius oder bei Weichen auch heute noch mit kubischen
Funktionen trassiert.
Wählen Sie hier die Ordnung einer Taylor-Reihe für eine Parameterdarstellung einer Klothoide:
0. Die entsprechenden Terme werden direkt oben eingetragen und gezeichnet. Um den
Ursprung besteht ein annähernd linearer Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Krümmung.
, also