Multiplikation mit logarithmischen Skalen

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interaktiver Rechenschieber

Multiplizieren und Dividieren mit logarithmischen Skalen

Jede positive reelle Zahl x läßt sich als x = m ⋅ 10^k darstellen, wobei k ∈ N und 1 ≤ m < 10 gilt.
Beispiele: 1.) x = 432,8 = 4,328 ⋅ 10², d.h. m=4,328 und k=2 2.) x = 0,0035 = 3,5⋅10^-3, d.h. m=3,5 und k=-3
m entsteht also aus x, indem man das Komma hinter deren erste Ziffer verschiebt, die ungleich 0 ist. Und k gibt die Anzahl der Dezimalstellen an, um die das Komma verschoben wurde (und die Richtung).

Zieht man jeweils den dekadischen Logarithmus, folgt daraus lg(x) = lg(m) + k und 0 ≤ lg(m) < 1.
M := lg(m) nennt man die Mantisse von x, k die Kennziffer.

Das Produkt zweier Zahlen x und y läßt sich dann über die Logarithmen so berechnen:
lg(x ⋅ y) = lg(x) + lg(y) = M_x + M_y + k_x + k_y = lg(m_x ⋅ m_y ⋅10^k_x+k_y).
Das heißt, man addiert die Mantissen (die Logarithmen der in den Zahlenraum 1 bis 10 verschobenen Faktoren) und erhält dadurch entweder die Mantisse des Produkts oder deren Zehnfaches, falls m_x⋅m_y≥10.

Trägt man die auf den Zahlenraum 1 bis 10 verschobenen Faktoren auf jeweils logarithmischen Skalen auf, die jeweils bei 1 beginnen, und bei denen der Abstand zum Anfang 1 proportional zum dekadischen Logarithmus der Faktoren ist, so erzeugt das Anlegen der Anfangs der Skala des zweiten Faktors an die Stelle des ersten Faktors auf dessen Skala eine Addition der Abstände, also der Logarithmen; und die Summe kann auf der Skala des ersten Faktors wiederum direkt als in den Raum 1 bis 100 verschobenes Produkt abgelesen werden. Die korrekte Zehnerpotenz des Ergebnisses kann man leicht im Kopf überschlagen.

Die früher verwendeten Rechenschieber funktionierten genau so, daß man eine verschiebbare logarithmische Skala (Zunge) mit deren 1 auf den Wert des ersten Faktors einer festen logarithmischen Skala schob. Dann las man an Stelle des zweiten Faktors auf der Zunge das Produkt auf der festen Skala ab. Das kann hier interaktiv studiert werden. Da feste und bewegliche Skala nur bis 10 gingen, konnte man Produkte über 10 natürlich nicht mehr ablesen; hier fand man einen genialen Ausweg. Dazu Option Rechenschiebermodus aktivieren und die Anmerkung unten lesen.

Interaktive Beispiele: (beliebige Multiplikationsaufgabe (positive Faktoren) eingeben)

× =

Die Graphik ist per Maus horizontal verschiebbar.
Der Zoomfaktor kann hier eingestellt werden:

Rechenschiebermodus lineare Skalen (= dekadische Logarithmen)

Im Rechenschiebermodus gehen beide Skalen nur von 1 bis 10. Produkte größer als 10 können so nicht mehr abgelesen werden. Hilfsweise legt man dann nicht die 1 der oberen Skala an den ersten Faktor a auf der unteren Skala, sondern die 10. So kann man beim Wert des zweiten Faktors b auf der oberen Skala ein Zehntel des Produkts a·b an der unteren Skala ablesen, denn statt lg(a·b) = lg(a) + lg(b) betrachtet man lg(a) - lg(10/b) = lg(a) - (lg(10) - lg(b)) = lg(a) + lg(b) - lg(10) = lg(a·b/10) und bleibt mit a·b/10 im Intervall [1;10].

Division

Wegen log(a/b)=log(a)-log(b) kann mit logarithmischen Skalen ebenso gut dividiert werden, indem man an beiden Skalen Dividend und Divisor aneinander legt und das Ergebnis bei der 1 der Divisor-Skala abliest (oder um eine Zehnerstelle versetzt bei 10, falls b>a).
Dividieren statt Multiplizieren