Es ist A(cos(α)|sin(α)) und M(cos(α)/2|1).
Für den Parabelpunkt B(x|2x²) muß gelten |MB|=|M| (siehe grünen Kreis), d.h.: √((cos(α)/2-x)²+(1-2x²)²) = √((cos(α)/2)²+1).
Nach Quadrieren und Vereinfachen ergibt sich: 4x⁴ - 3x² - cos(α)x = (4x³ - 3x - cos(α))x = 0.
Die Lösung x=0 ist klar (⇒Ursprung), die positive Lösung der kubischen Gleichung 4x³-3x²=cos(α) ist die x-Koordinate von B und entsprechend auch von C.
C liegt laut Konstruktion auf dem Einheitskreis; es gilt also für den Steigungswinkel β der Ursprungsgerade durch C: cos(β)=x.
Nun soll für β gelten: 3β=α.
In die o.g. kubische Gleichung eingesetzt, ergibt sich: 4cos(β)³ - 3cos(β) = cos(3β), und das ist korrekt, da cos(3β) so aufgelöst werden kann. Einen richtigen Beweis dafür muß ich hier schuldig bleiben, siehe aber als Beleg z.B. →hier und die folgende Plausibilisierung.

Wenn man beide Seiten der fraglichen Identität 4cos³(x) - 3cos(x) = cos(3x), zweimal ableitet, entsteht rechts wieder cos(3x), das man dann durch den fraglichen Term ersetzen kann. (Es wird außerdem sin²(x)+cos²(x)=1 verwendet.)
4cos³(x) - 3cos(x) = cos(3x)
1. Ableitung:   -12sin(x)cos²(x) + 3sin(x) = -3sin(3x)
2. Ableitung:   -12(cos³(x) - 2sin²(x)cos(x)) + 3cos(x) = -9cos(3x)
  ⇒   cos(x)(-12cos²(x) + 24sin²(x) + 3) = -9cos(3x)
  ⇒   cos(x)(-12cos²(x) + 24(1-cos²(x)) + 3) = -9cos(3x)
  ⇒   cos(x)(-12cos²(x) + 24 - 24cos²(x)) + 3) = -9cos(3x)
  ⇒   cos(x)(-36cos²(x) + 27) = -9cos(3x)
Auf der rechten Seite nun cos(3x) mit dem Term 4cos³(x)-3cos(x) ersetzen:
cos(x)(-36cos²(x) + 27) = -9(4cos³(x) - 3cos(x))
  ⇒   cos(x)(-36cos²(x) + 27) = -36cos³(x) + 27cos(x)
Und das ist offensichtlich richtig. ☺