Unter Bruchtermen versteht man eigentlich nur solche Terme mit Brόchen, bei denen die Variable auch im Nenner vorkommt. Also gibt es in der Gleichung
x 2x 7 + = 3 11 17
eigentlich keinen Bruchterm, und somit wδre es keine Bruchgleichung. Doch die Behandlung, d.h. die mathematischen Techniken bei der Vereinfachung und Auflφsung, sind die selben, insofern machen wir hier mal diesen Unterschied nicht.
Wie addiert man Brόche? Indem man die Nenner gleichnamig macht und dann die Zδhler addiert. Das Gleichnamigmachen (bei beiden Brόchen gleiche Nenner) geht durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Das kgV von 3 und 11 ist 33, also:
x 11x
= erweitert mit 11
3 33
2x 6x
= erweitert mit 3
11 33
x 2x 11x 6x 17x
+ = + =
3 11 33 33 33
Und damit kann man die linke Seite von
x 2x 7
+ =
3 11 17
vereinfacht so schreiben:
17x 7
=
33 17
Generell gilt: Nenner und damit Brόche beseitigt man durch Multiplizieren der Gleichung nacheinander mit allen Nennern (oder in einem Schritt mit dem kgV der Nenner)
17x 7
= | · 33
33 17
231
17x = | · 17
17
289x = 231 | : 289
x = 0,799307958477509...
231
oder besser: x =
289
Beim Kόrzen von Bruchtermen mόssen im Zδhler und im Nenner bei allen Summanden gleiche Faktoren vorkommen (nicht irgendwo gleiche Summanden!):
Bei
3x + 3y
6x + 3y
kommen zwar oben und unten jeweils x und y vor, gekόrzt kφnnen die Variablen aber nicht werden, weil keine Variable in allen Summanden gleichzeitig vorkommt! (3x und 3y sind die Summanden im Zδhler, 6x und 3y sind die Summanden im Nenner.) Man kann aber άBERALL den Faktor 3 herauskόrzen:
3x + 3y 3·(x + y) x + y
= =
6x + 3y 3·(2x + y) 2x + y
Versuche, alle Schritte bis ins Kleinste nachzuvollziehen und zu verstehen. So etwas muίt Du nicht selbst machen, aber Du solltest verstehen, wie es gemacht wird. Daran kannst Du sicher etwas lernen:
Die folgende Formel soll nach x aufgelφst werden:
1 2 3 = a x + 1 b 1
a und b stehen fόr irgendwelche Zahlen. Leider weiί man nicht, fόr welche, daher muί man mit a und b rechnen und kann sie nicht durch Zahlen ersetzen.
Die Nenner stφren, also wird die Gleichung nacheinander mit den Nennern multipliziert. Dadurch fδllt der Nenner logischerweise jeweils bei dem Term weg, der vorher diesen Nenner enthielt. Im Zδhler DIESES Terms δndert sich nichts, weil ja gekόrzt wurde, d.h. die Multiplikation eliminiert hier nur den Nenner. Aber nicht vergessen, bei allen anderen Termen den Faktor zum Zδhler dazu zu multiplizieren!
1 2 3
= | · a
a x + 1 b 1
2a 3a
1 = | · (x + 1)
x + 1 b 1
3a · (x + 1)
1·(x + 1) = 2a | Vereinfachen
b 1
3ax + 3a
x + 1 = 2a | ·(b 1)
b 1
Obacht! Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer! Falls vor dem Bruchstrich ein Minuszeichen steht, muί der Zδhler unbedingt eingeklammert werden, wenn der Nenner wegfδllt!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(x + 1)·(b 1) = 2a·(b 1) 3ax + 3a | Klammmern auflφsen
xb x + b 1 = 2ab 2a 3ax 3a | + 3ax (alles, was mit x zu tun hat,
nach links, den Rest nach
rechts bringen)
xb x + 3ax + b 1 = 2ab 2a 3a | V
xb x + 3ax + b 1 = 2ab 5a | b + 1
xb x + 3ax = 2ab 5a b + 1 | links wird x ausgeklammert,
da es ja alleine stehen soll
x·(b 1 + 3a) = 2ab 5a b + 1 | : (b 1 + 3a)
2ab 5a b + 1
x = sortieren:
b 1 + 3a
2ab 5a b + 1
x = kόrzen nicht mehr mφglich.
3a + b 1
Ein wenig einfacher, auch wenn es gar nicht so aussieht, und fast vom Schwierigkeitsgrad der Arbeit (eigentlich leider noch ein wenig zu schwer) ist das nδchste Beispiel:
3x x2 4 + 4x 45ax3
= + 2
x 2 15ax2 + 5ax
Im ersten Term kann x gekόrzt werden, im zweiten 2 und im dritten 5ax. Vorsicht: Minus vorm Bruchstrich heiίt: Klammer setzen!
9x2
3 x (2 + 2x) = + 2 | Klammer auflφsen
3x + 1
9x2
3 x 2 2x = + 2 | Zusammenfassen
3x + 1
9x2
1 3x = + 2 | ·(3x + 1)
3x + 1
(3x + 1)·(1 3x) = 9x2 + 6x + 2 | Klammer ausmultiplizieren
(Jedes mit jedem)
3x - 9x2 + 1 3x = 9x2 + 6x + 2 | Vereinfachen (3x hebt sich gegen -3x auf)
-9x2 + 1 = 9x2 + 6x + 2 | + 9x2
1 = 6x + 2 | 2
1 = 6x | :6
-1/6 = x
Mitgekommen????
Es sind immer die selben Techniken: Mit den Nennern malnehmen, vereinfachen durch Auflφsen von Klammern, d.h. Ausmultiplizieren oder Auflφsen von Minusklammern, Dinge auf andere Seiten bringen usw...
Etwas anderes:
Man darf bekanntlicherweise nicht durch Null teilen!
Im Rechenausdruck
23x - 1
10 2x
...darf also der Nenner nicht Null sein, und das ist er nur dann, wenn x = 5 ist. Fόr alle anderen Werte von x ist der Nenner nicht Null, und man kφnnte den Term berechnen oder weiterverarbeiten.
Man sagt daher, der Term ist definiert fόr alle Zahlen (alle Reellen Zahlen) auίer denen, bei denen es nicht erlaubt ist, weil z.B. ein Nenner Null wird, hier nδmlich ist das bei der 5 so:
D = R \ {5}
Das groίe D ist dabei der Definitionsbereich oder die Definitionsmenge, und das R steht
fόr die Menge der Reellen Zahlen, darin sind die Rationalen Zahlen (Brόche) enthalten
und die Irrationalen Zahlen (Menge der Zahlen, die sich nicht durch Brόche darstellen lassen,
so wie beispielsweise die Wurzeln aus allen Primzahlen.) Das Zeichen \ bedeutet "ohne" oder "auίer",
so daί sich der Ausdruck
"Der Definitionsbereich ist die Menge der Reellen Zahlen ohne die 5".
4x + 1 3x
=
x 11 -5
x = 11 macht den ersten Nenner zu Null
daher:
D = R \ {11}
1
= 34
x2 + 2
Der erste Nenner kann nie Null werden, denn
x2 ist immer grφίer oder gleich Null,
und daher ist der Nenner insgesamt immer grφίer gleich 2.
somit: D = R
2x - 4 x
3x + = 23x
x 4x + 100
x = 0 macht den ersten Nenner zu Null
x = 25 macht den zweiten zu Null.
daher:
D = R \ { 25 ; 0 }
1 - 34x 7x - 3 2 4x + 3x²
+ =
3x 3x - 7 (x + 2)·(2x 5)
x = 0 macht den ersten Nenner zu Null
x = 7/3 = 2,333333333333... macht den zweiten zu Null
x = -2 macht den dritten zu Null, da der erste Faktor Null ist, was
den ganzen Nenner zu Null macht
x = 2,5 macht ebenfalls den dritten Nenner zu Null, da dadurch der
zweite Faktor und damit das Produkt Null wird
daher:
D = R \ { -2 ; 0 ; 7/3 ; 2,5 }
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