Der Rechner beherrscht die Grundrechenarten +, -, *, / und auch ^ (="hoch", Potenzierung; nur ganzzahlige Exponenten sind erlaubt), beachtet die Prioritätsregeln (Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung) und erkennt Klammerung. Die Ergebnisse werden vollständig gekürzt.
Es können auch Brüche in gemischter Schreibweise eingegeben werden: Zwischen ganzzahligem Anteil und dem Zähler muß ein Unterstrich stehen. (Beispiele: "Zwei, ein Drittel": 2_1/3; "Anderthalb": 1_1/2)
Periodische und unperiodische Dezimalbrüche können eingegeben werden, indem vor dem Periodenbeginn ein kleines p in die Zahl einfügt wird (z.B. 0,p3 für "ein Drittel").     

Hinweis:
Die frühere Beschränkung des Rechners ("Erkennung" von Nennern nur bis 100000) entfällt, da die aktuelle Version nunmehr echte Bruchrechnung beherrscht. Die Brüche werden nicht durch Division in Dezimalbrüche umgewandelt, sondern als "Objekte" behandelt. Klicke hier, um zu sehen, wie der letzte Term "objektorientiert" berechnet wurde.

→ Erläuterungen zu den Grundrechenarten und zum Kürzen

zurück

Umwandeln von periodischen Dezimalbrüchen in echte Brüche

periodischer Dezimalbruch:
vor Periode kleines p einfügen Bsp.: 0,74p012 für 0,74012012012...		ggf. in gemischte Schreibweise umwandeln

So geht's:
Zerlege die Dezimalzahl in ihre Teile: Ganzzahl + unperiodischer Teil + periodischer Teil. Wandle dabei die Teile nach dem Komma folgendermaßen in Brüche um: Beim unperiodischen Teil besteht der Zähler aus der Ziffernfolge nach dem Komma; der Nenner besteht aus einer 1 mit sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Beim periodischen Teil schreibe die periodische Ziffernfolge in den Zähler; in den Nenner kommen soviele Neunen, wie die Periode lang ist, gefolgt von sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Addiere die drei Teile, kürze, falls möglich, fertig.
Bsp.: 8,04321p657 = 8 + 4321/100000 + 657/99900000 = 8 + (4316679+657)/99900000 = 8 + 4317336/99900000 = 8 + 59963/1387500 = 11159963/1387500

→ Details und interaktive Beispiele

zurück

Umwandeln von echten Brüchen in (periodische) Dezimalbrüche

Bruch (/ als Bruchstrich) eingeben:
gegebenenfalls kürzen / in gemischte Schreibweise umwandeln
Das p im Ergebnis zeigt den Beginn der Periode an. Periodenlänge:
Es werden bis zu Dezimalstellen angezeigt. Die Periodenlänge wird in jedem Fall berechnet und angezeigt, wenn auf [=] geklickt wurde.

So geht's:
Zähler durch Nenner schriftlich dividieren. Sobald sich hinter dem Komma ein Rest wiederholt, kann man aufhören: Ab derjenigen Stelle im Quotienten (="Ergebnis"), die den sich wiederholenden Rest erzeugt hatte, ist der Dezimalbruch periodisch. Zum Sehen von Beispielen das Fenster zur kompletten Darstellung von schriftlichen Divisionen öffnen und Brüche eingeben.

→ Fenster zur kompletten Darstellung der schriftlichen Division öffnen
→ Berechnung der Periodenlänge

zurück

Approximation von Dezimalbrüchen durch echte Brüche

Erklärung der Approximation durch Kettenbruchentwicklung: siehe unten

zurück

Endliche Kettenbrüche

Die ganzzahligen Summanden in den Nennern der endlichen Kettenbruchentwicklung gewinnt man, indem man mit dem Euklidischen Algorithmus den ggT aus Zähler und Nenner bestimmt:

Hieraus läßt sich ein umgekehrter Algorithmus gewinnen, um aus einem gegebenen Kettenbruch schnell auf den Wert zu schließen. Man gibt Kettenbrüche in der Regel an, indem man die ganzzahligen Summanden nennt, angefangen mit der Zahl vor dem Kettenbruch (falls die fehlt, dann 0), z.B.: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Der Wert des Kettenbruchs errechnet sich dann folgendermaßen. Die gegebene Folge wird von hinten abgearbeitet:

Übrigens führen die Brüche aus aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...} stets auf Kettenbrüche der Form (1,1,1,1,...,1,1,2), wenn die größere Zahl im Zähler steht, bzw. (0,1,1,1,...,1,1,2) im umgekehrten Fall. Der Zahlenwert der Quotienten nähert sich sehr rasch dem goldenen Schnitt an; und dieser hat die außerordentlich bemerkenswerte unendliche Kettenbruchentwicklung (1,1,1,1,1,1,1,1,...). Umgekehrt bildet auch die Folge aus den Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen die Folge jeweils besserer Approximationen für den goldenen Schnitt, wie oben überprüft werden kann. Man gebe sukzessive eine Folge von Einsen ein oder 1 p 1.

Periodische unendliche Kettenbrüche
Man kann jede reelle Zahl in einen Kettenbruch entwickeln. Der Kettenbruch ist genau dann endlich, wenn die Zahl rational, also durch einen Bruch darstellbar, ist; sonst ist sie unendlich, nähert sich aber durch die oben dargestellten Näherungsbrüche der reellen Zahl beliebig nahe an. Die Kettenbruchentwicklung von Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die selbst keine Quadratzahlen sind, ist stets periodisch. Die Periode beginnt mit dem zweiten Folgeglied und hört mit einer Zahl auf, die das Doppelte des ersten Folgegliedes ist. Die Periode ist bis zur vorletzten Zahl symmetrisch. Bsp.: √= [4 p 2 1 3 1 2 8]. Man kann das ebenfalls auf dieser Seite anschauen, indem man statt eines Bruchs oben einen Ausdruck wie sqr(29) eingibt. Der Periodenbeginn wird in der Zahlenfolgendarstellung durch ein p angezeigt, auch Näherungsbrüche werden erzeugt, soweit das die Größe der Zähler und Nenner noch zuläßt. Auch die Umwandlung von periodischer Folgedarstellung in die zugehörige reelle Zahl funktioniert jetzt. Man gebe im Feld "Kettenbruchdarstellung als Zahlenfolge" die entsprechende Folge ein, wobei vor dem Periodenbeginn ein p eingefügt werden muß (beispielsweise 1 p 1 für den goldenen Schnitt). Wenn in der Kettenbruchentwicklung eine Periode erkannt wird, kann daraus eine sogenannte quadratische Irrationalzahl der Form (a+√b)/c (mit ganzen Zahlen a,b,c) rekonstruiert werden. Details dazu →hier. Im →Rechner für große Zahlen können nunmehr Kettenbruchentwicklungen mit hoher Genauigkeit (bis 1000 Glieder) erzeugt werden. Stellen Sie dazu die Anzahl der angezeigten Kommastellen mindestens auf 1500.

Lösungen linearer diophantischer Gleichungen mithilfe der Kettenbruchentwicklung
Diophantische Gleichungen sind Gleichungen, deren Variablen und Koeffizienten nur ganzzahlige Werte annehmen. Gleichungen der Form ax + by = c, wobei a, b und c gegebene ganze Zahlen darstellen, lassen sich mithilfe der Kettenbruchentwicklung des Bruchs a/b lösen. Der vorletzte Näherungsbruch Z/N gibt eine Lösung der Gleichung ax + by = 1 an, wobei x=±N und y=±Z. (Die richtigen Vorzeichen müssen herausgefunden werden.) Im folgenden interaktiven Beispiel können die Faktoren vor x und y sowie die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen verändert werden.
 
Interaktives Beispiel: x -y =
Finde zunächst eine Lösung für 13x - 11y = 1 durch Kettenbruchentwicklung von 13/11. Der vorletzte Näherungsbruch ist 6/5, d.h. ±13·5 ± 11·6 = 1 erzeugt eine Lösung. Man findet (durch Ausprobieren) die richtige Vorzeichenkombination: -13·5 + 11·6 = 1. Diese Gleichung multipliziert man mit 5 und erhält so eine Lösung der ursprünglichen Gleichung: -13·25 + 11·30 = 5; d.h. x=-25 und y=-30 lösen die Gleichung (es gibt unendlich viele weitere Lösungen, siehe die Verweise unten).
 
Systematische Lösungsverfahren zum Auffinden aller Lösungen solcher Gleichungen sind →hier und (auch für mehr als zwei Unbekannte) →hier beschrieben.

Lösung der Pellschen Gleichung mithilfe der Kettenbruchentwicklung
Gleichungen der Form x²-dy²=±1 mit festem d∈N und den unbekannten Ganzzahlen x,y nennt man Pellsche Gleichung. Ist d ein Quadrat, so erfüllen nur x=±1 und y=0 die Gleichung (trivialer Fall). Ansonsten bestimmt man über die Kettenbruchentwicklung eine Folge von Näherungsbrüchen für √d. Gewisse Näherungsbrüche geben dann mit x/y eine Lösung der Pellschen Gleichung an. Welche es sind, hängt von der Periodenlänge n der Kettenbruchentwicklung ab. Das läßt sich leicht an dem folgenden interaktiven Beispiel studieren (der Faktor vor y² kann verändert werden):
 
Interaktives Beispiel: x² –y² = ±1.

zurück

© Arndt Brünner
Erläuterungen zu den Grundrechenarten,   zum Kürzen
und zum Umwandeln von Kommazahlen in Brüche
Ägyptische Darstellung mit Stammbrüchen
Matheseitenüberblick
Gästebuch
Rechner
Version: 7. 11. 2011