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Der Rechner beherrscht die Grundrechenarten +, -, *, / und auch ^ (="hoch", Potenzierung; nur ganzzahlige Exponenten sind erlaubt), beachtet die Prioritätsregeln (Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung) und erkennt Klammerung. Die Ergebnisse werden vollständig gekürzt.Es können auch Brüche in gemischter Schreibweise eingegeben werden: Zwischen ganzzahligem Anteil und dem Zähler muß ein Unterstrich stehen. (Beispiele: "Zwei, ein Drittel": 2_1/3; "Anderthalb": 1_1/2) Periodische und unperiodische Dezimalbrüche können eingegeben werden, indem vor dem Periodenbeginn ein kleines p in die Zahl einfügt wird (z.B. 0,p3 für "ein Drittel").
Hinweis: Die frühere Beschränkung des Rechners ("Erkennung" von Nennern nur bis 100000) entfällt, da die aktuelle Version nunmehr echte Bruchrechnung beherrscht. Die Brüche werden nicht durch Division in Dezimalbrüche umgewandelt, sondern als "Objekte" behandelt. Klicke hier, um zu sehen, wie der letzte Term "objektorientiert" berechnet wurde.
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So geht's:Zerlege die Dezimalzahl in ihre Teile: Ganzzahl + unperiodischer Teil + periodischer Teil. Wandle dabei die Teile nach dem Komma folgendermaßen in Brüche um: Beim unperiodischen Teil besteht der Zähler aus der Ziffernfolge nach dem Komma; der Nenner besteht aus einer 1 mit sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Beim periodischen Teil schreibe die periodische Ziffernfolge in den Zähler; in den Nenner kommen soviele Neunen, wie die Periode lang ist, gefolgt von sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Addiere die drei Teile, kürze, falls möglich, fertig. Bsp.: 8,04321p657 = 8 + 4321/100000 + 657/99900000 = 8 + (4316679+657)/99900000 = 8 + 4317336/99900000 = 8 + 59963/1387500 = 11159963/1387500
® Details und interaktive Beispiele
Es werden bis zu Dezimalstellen angezeigt. Die Periodenlänge wird in jedem Fall berechnet und angezeigt, wenn auf [=] geklickt wurde.
So geht's: Zähler durch Nenner schriftlich dividieren. Sobald sich hinter dem Komma ein Rest wiederholt, kann man aufhören: Ab derjenigen Stelle im Quotienten (="Ergebnis"), die den sich wiederholenden Rest erzeugt hatte, ist der Dezimalbruch periodisch. Zum Sehen von Beispielen das Fenster zur kompletten Darstellung von schriftlichen Divisionen öffnen und Brüche eingeben.
® Fenster zur kompletten Darstellung der schriftlichen Division öffnen ® Berechnung der Periodenlänge
Beispiele: Goldener Schnitt p • e • Ö2 • Ö3 1/p • 1/e • 1/Ö2 • 1/Ö3 Ö Javascript-Ausdruck...
Approximation von Quadratwurzeln · nach Heron · schriftliches Wurzelziehen
Erklärung der Approximation durch Kettenbruchentwicklung: siehe unten
Die ganzzahligen Summanden in den Nennern der endlichen Kettenbruchentwicklung gewinnt man, indem man mit dem Euklidischen Algorithmus den ggT aus Zähler und Nenner bestimmt:
Hieraus läßt sich ein umgekehrter Algorithmus gewinnen, um aus einem gegebenen Kettenbruch schnell auf den Wert zu schließen. Man gibt Kettenbrüche in der Regel an, indem man die ganzzahligen Summanden nennt, angefangen mit der Zahl vor dem Kettenbruch (falls die fehlt, dann 0), z.B.: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Der Wert des Kettenbruchs errechnet sich dann folgendermaßen. Die gegebene Folge wird von hinten abgearbeitet:
Die 1 in der ersten Zeile kann ersetzt werden durch jede beliebige natürliche Zahl. (Der resultierende Bruch kann dann durch diese Zahl gekürzt werden.) Die Zahl nach dem Gleichheitszeichen wird jeweils berechnet; die Werte der jeweils folgenden Zeile werden aus der vorherigen übertragen (Zur Verdeutlichung sind einige Zahlen farbig dargestellt).
Es ergibt sich also, daß der Bruch 516901/740785 die Kettenbruchdarstellung (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) besitzt.
Übrigens muß die letzte Zahl immer größer als eins sein, denn wäre sie eins, wäre der letzte Bruch in der Kettenbruchdarstellung ja 1/1 und daher kein wirklicher Bruch.
Übrigens führen die Brüche aus aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...} stets auf Kettenbrüche der Form (1,1,1,1,...,1,1,2), wenn die größere Zahl im Zähler steht, bzw. (0,1,1,1,...,1,1,2) im umgekehrten Fall. Der Zahlenwert der Quotienten nähert sich sehr rasch dem goldenen Schnitt an; und dieser hat die außerordentlich bemerkenswerte unendliche Kettenbruchentwicklung (1,1,1,1,1,1,1,1,...). Umgekehrt bildet auch die Folge aus den Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen die Folge jeweils besserer Approximationen für den goldenen Schnitt, wie oben überprüft werden kann.
Periodische unendliche Kettenbrüche Man kann jede reelle Zahl in einen Kettenbruch entwickeln. Der Kettenbruch ist genau dann endlich, wenn die Zahl rational, also durch einen Bruch darstellbar, ist; sonst ist sie unendlich, nähert sich aber durch die oben dargestellten Näherungsbrüche der reellen Zahl beliebig nahe an. Die Kettenbruchentwicklung von Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die selbst keine Quadratzahlen sind, ist stets periodisch. Die Periode beginnt mit dem zweiten Folgeglied und hört mit einer Zahl auf, die das Doppelte des ersten Folgegliedes ist. Die Periode ist bis zur vorletzten Zahl symmetrisch. Man kann das ebenfalls auf dieser Seite anschauen, indem man statt eines Bruchs oben einen Ausdruck wie sqr(29) eingibt. Der Periodenbeginn wird in der Zahlenfolgendarstellung durch ein p angezeigt, auch Näherungsbrüche werden erzeugt, soweit das die Größe der Zähler und Nenner noch zuläßt. Die Umwandlung von periodischer Folgedarstellung in die zugehörige reelle Zahl funktioniert (noch) nicht.
Lösungen diophantischer Gleichungen mithilfe der Kettenbruchentwicklung Diophantische Gleichungen sind Gleichungen, deren Variablen und Koeffizienten nur ganzzahlige Werte annehmen. Gleichungen der Form ax + by = c, wobei a, b und c gegebene ganze Zahlen darstellen, lassen sich mithilfe der Kettenbruchentwicklung des Bruchs a/b lösen. Der vorletzte Näherungsbruch Z/N gibt eine Lösung der Gleichung ax + by = 1 an, wobei x=±N und y=±Z. (Die richtigen Vorzeichen müssen herausgefunden werden.)
Beispiel: 13x – 11y = 5 Finde zunächst eine Lösung für 13x – 11y = 1 durch Kettenbruchentwicklung von 13/11. Der vorletzte Näherungsbruch ist 6/5, d.h. ±13·5 ± 11·6 = 1 erzeugt eine Lösung. Man findet (durch Ausprobieren) die richtige Vorzeichenkombination: -13·5 + 11·6 = 1. Diese Gleichung multipliziert man mit 5 und erhält so eine Lösung der ursprünglichen Gleichung: -13·25 + 11·30 = 5; d.h. x=-25 und y=-30 lösen die Gleichung.
Ein systematisches Lösungsverfahren für solche Gleichungen ist hier beschrieben.
© Arndt Brünner Erläuterungen zu den Grundrechenarten, zum Kürzen und zum Umwandeln von Kommazahlen in Brüche Ägyptische Darstellung mit Stammbrüchen Matheseitenüberblick Gästebuch Rechner Version: 7. 10. 2003