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Rechner für Eigenwerte
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Eigenwerte, Eigenvektoren, Abbildungsmatrizen,
Quadriken, Hauptachsentransformation

Dieses Script findet im R² und im R³ zu gegebenen Eigenwerten und zugehörigen Eigenvektoren die entsprechende Matrix. Unten können zu eingegebenen 2×2- oder 3×3-Matrizen die Eigensysteme bestimmt werden. Noch weiter unten werden zu einigen Typen linearer Abbildungen und ihren Hintereinanderausführungen die Eigensysteme oder die Abbildungsmatrizen berechnet. Schließlich findet sich im vierten Teil als Anwendung von Eigenwerten und -vektoren ein Rechner für Hauptachsentransformation von Quadriken im R³ und im R².

Das Script verarbeitet im Gegensatz zu meinem →älteren Eigenwertrechner auch komplexe Zahlen. Eingabebeispiel für Brüche und komplexe Zahlen: -8,6+3/7i. Da hier nicht symbolisch, sondern nur numerisch gerechnet wird, sind Rundungsfehler unvermeidlich. Sie werden, so gut es eben geht, ausgeglichen. Die Eigenvektoren werden nach Möglichkeit ganzzahlig gemacht, andernfalls auf den Betrag 1 normiert. Brüche und ganzzahlige Verhältnisse werden aus den Berechnungsergebnissen durch den (z.B. hier beschriebenen) Kettenbruchalgorithmus rekonstruiert. Die berechneten Eigenvektoren bilden in der ausgegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem.


n=2    Zufallswerte

EigenwerteEigenvektorenMatrix







       







übernehmen

n=3    →Zufallswerte

EigenwerteEigenvektorenMatrix








       
















→ übernehmen

Derive-Schreibweisen:
n=2: 
n=3: 


→ Zufallswerte (3×3)   → Zufallswerte (2×2)

2x2- oder 3x3-Matrix eingeben zum Berechnen des Eigensystems:

   

 

 

 



 

 


 
Lineare Abbildungen
Im folgenden kann zu diversen linearen Abbildungstypen im R³ mit Abbildungsmatrix: x → M·x sowohl das Eigensystem (d.h. Eigenwerte und -vektoren) als auch die Abbildungsmatrix bestimmt werden. Auch die Abbildungsmatrix einer Verknüpfung (Hintereinanderausführung) mehrerer Abbildungen kann berechnet werden.
Rotation um die x-Achse mit φ=° →Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Rotation um die y-Achse mit φ=° →Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Rotation um die z-Achse mit φ=° →Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Rotation um die Gerade
 λ ·







    mit φ=°
→Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Orthogonale Spiegelung an der Ebene  








*
x
 
= 0
→Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Allgemeine Spiegelung an der Ebene  








*
x
 
= 0
  mit der Richtung  







→Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Orthogonale Spiegelung an der Geraden
 λ ·







→Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Allgemeine Spiegelung an der Geraden  
 λ ·







  entlang Ebene  







*
x
 
= 0
→Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
Parallelprojektion auf die Ebene  








*
x
 
= 0
  mit der Richtung  







→Matrix  →Eigensystem
→an Liste anhängen
 
Liste
→übernehmen als Matrix

Quadriken

Quadriken sind im R³ Gleichungen der Form a9x2 + a8y2 + a7z2 + a6xy + a5xz + a4yz + a3x + a2y + a1y + a0 = 0. Sie beschreiben die Rotationsflächen von Kegelschnitten: Kugel, Rotationsellipsoid, -paraboloid, und -hyperboloid. Schreibt man sie in der Form a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2 + 2a01x + 2a02y + 2a03y + a00 = 0, so kann die Gleichung in Matrixform so geschrieben werden:

(x y z)




a11a12a13



a12a22a23
a13a23a33




x



y
z
+ 2 (a01 a02 a03)




x



y
z
+ a00 = 0

Die Eigenvektoren der symmetrischen 3×3-Matrix A=(ai j) dienen der sogenannten Hauptachsentransformation, einer linearen Abbildung, mit der die Matrix in Diagonalform gebracht werden kann, so daß in der entsprechenden Quadrikgleichung nach einer geeigneten Drehung nur noch die rein quadratischen und zunächst noch die linearen Summanden vorkommen, die gemischten aber verschwinden: a'11x2 + a'22y2 + a'33z2 +2a01x + 2a'02y + 2a'03z + a'00 = 0. Die auf den Betrag 1 normierten Eigenvektoren ergeben die Spalten der Drehmatrix B, mit der die o.g. Matrixgleichung in diese Form gebracht werden kann: Aus xTAx + 2(a01 a02 a03)x + a00 wird dabei xT(BTAB)x + 2((a01 a02 a03)B)x + a00. Die quadratischen Koeffizienten a'11, a'22, und a'33 der auf die Hauptachsen transformierten Quadrik ergeben sich aus BTAB. Durch eine geeignete Verschiebung (Substitution beispielsweise von x durch x-x1 für die Verschiebung um x1) können die linearen Glieder jener Variablen elimiert werden, die mit quadratischen Summanden vertreten sind.

Im R² werden durch Gleichungen der Form a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a01x + 2a02y + a00 = 0 mit analoger Matrixdarstellung alle Kegelschnitte beschrieben.

Ausprobieren:       → Beispiel R³     → Beispiel R²

(Quadrik-)Gleichung:

 

 


© Arndt Brünner, 23. 12. 2007
Version: 12. 12. 2013
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