Berechnung von Dreiecken

Die Kongruenzsätze besagen, daß ein Dreieck eindeutig konstruiert werden kann, wenn eine dieser Kombinationen an gegebenen Maßen vorliegt:

• eine Seite und zwei Winkel (SWW, WSW oder WWS)
• zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel (SsW oder WsS)
• zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)
• drei Seiten (SSS)

Mit diesem Formular können die wichtigsten Maße von Dreiecken berechnet werden, die durch die passende Angabe von drei Größen gegeben sind. Außer den drei Seiten und den drei Winkeln sind das die Längen der drei Höhen auf a (h_a), b (h_b) und c (h_c), der Flächeninhalt, sowie die Radien von Umkreis und Inkreis.
(Informationen über Rechenweg und Formeln finden sich unten.)

Einfach in die Felder der linken Spalte die gegebenen Maße eintragen; sobald das Dreieck eindeutig gegeben ist, werden alle fehlenden Maße automatisch berechnet.

Ihr könnt euch also Aufgaben überlegen, Dreiecke konstruieren und durch Messen der Seiten, Winkel, Höhen und Radien überprüfen, ob die Konstruktion stimmt (6.-9. Klasse). Zur Erinnerung: Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, und der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Unten auf der Seite wird der genaue Rechenweg für alle Fälle erklärt und in dem großen Textfenster für den gerade berechneten Fall (ab 10. Klasse).

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Graphik:

© Arndt Brünner, Gelnhausen, 27. Mai 2001 — Version: 20. 3. 2003 — Graphik: 8. 12. 2018
eMail: arndt.bruenner@t-online.de

Formeln zur Dreiecksberechnung

• Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind (WWS, WSW oder SWW):
  
  1. berechne dritten Winkel mit W₃ = 180° - W₁ - W₂
     (Satz über Summe der Innenwinkel im Dreieck)
  2. berechne fehlende zwei Seiten:
     

     Falls a bekannt ist:

     b = a * sin(β) / sin(α), c = a * sin(γ) / sin(α)

     Falls b bekannt ist:

     a = b * sin(α) / sin(β), c = b * sin(γ) / sin(β)

     Falls c bekannt ist:

     a = c * sin(α) / sin(γ), b = c * sin(β) / sin(γ)

     (Sinussatz)
      
• Wenn ein Winkel und zwei Seiten gegeben sind:
  
  • SWS:
    berechne fehlende Seite mit
       a = Sqr(b * b + c * c - 2 * b * c * cos(α))
       b = Sqr(a * a + c * c - 2 * a * c * cos(β))
       c = Sqr(a * a + b * b - 2 * a * b * cos(γ))
    (Kosinussatz)
    berechne fehlende Winkel wie bei SSS (s.u.)
     
  • SsW oder WsS:
    berechne den der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel mit
       β = asin(b * sin(α) / a), falls a, b und α gegeben sind
       α = asin(a * sin(β) / b), falls a, b und β gegeben sind
       γ = asin(c * sin(α) / a), falls a, c und α gegeben sind
       α = asin(a * sin(γ) / c), falls a, c und γ gegeben sind
       γ = asin(c * sin(β) / b), falls b, c und β gegeben sind
       β = asin(b * sin(γ) / c), falls b, c und γ gegeben sind
       (Sinussatz)
       berechne dritte Seite und dritten Winkel wie bei WWS (s.o.)
     
• Wenn drei Seiten gegeben sind (SSS)
     berechne Winkel mit
        α = acos((a * a - b * b - c * c) / (-2 * b * c))
        β = acos((b * b - c * c - a * a) / (-2 * c * a))
        γ = acos((c * c - a * a - b * b) / (-2 * a * b))
        (Kosinussatz)

berechne Höhen mit
    h_a = b * sin(γ)
    h_b = c * sin(α)
    h_c = a * sin(β)

berechne Umfang mit
    u = a + b + c

berechne Fläche mit
    A = a * h_a / 2   oder   A = b * h_b / 2   oder   A = c * h_c / 2
  oder mit Herons Formel
    s = u / 2
    A = sqr(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

berechne Umkreisradius
    r_Umkreis = a / (2 * sin(α)   oder mit
    r_Umkreis = (b / 2) / cos((α - β + γ) / 2)

berechne Inkreisradius
    r_Inkreis = c * sin(α / 2) * sin(β / 2) / sin((α + β) / 2)

Weitere Formeln

Flächeninhalt:
    A = a·b·sin(γ)/2
       = b·c·sin(α)/2
       = c·a·sin(β)/2
       = 2·r_Umkreis·sin(α)^3
       = r_Inkreis·u/2

Inkreisradius:
    r_Inkreis = √((s - a)·(s - b)·(s - c)/s)       mit s = u/2
             = s·tan(α)·tan(β)·tan(γ)
             = 4·r_Umkreis·sin(α/2)·sin(β/2)·sin(γ/2)

Seitenhalbierende:
    s_a = √(b² + c² + 2·b·c·cos(α))/2
    s_b = √(c² + a² + 2·c·a·cos(β))/2
    s_c = √(a² + b² + 2·a·b·cos(γ))/2
    s_a = √(2·(b² + c²) - a²)/2
    s_b = √(2·(c² + a²) - b²)/2
    s_c = √(2·(a² + b²) - c²)/2

Winkelhalbierende:
    w_a = 2·b·c·cos(α/2)/(b + c)
    w_b = 2·c·a·cos(β/2)/(c + a)
    w_c = 2·a·b·cos(γ/2)/(a + b)

Dreieckskonstruktionen

Beachte stets die Lage der Seiten und Winkel: a, b und c laufen gegen den Uhrzeigersinn, ebenso die Winkel α, β und γ. a liegt gegenüber von α, b gegenüber von β, c gegenüber von γ. α liegt beim Punkt A, den man in der Regel unten links zeichnet.

SWW und WWS
 • berechne den dritten Winkel (die Summe der Winkel beträgt 180°)
 • weiter wie bei WSW

WSW
  • zeichne die Seite
  • zeichne Halbgeraden an die Eckpunkte der Strecke mit den gegebenen Winkeln zur Strecke
  • der Schnittpunkt der Halbgeraden ist der dritte Punkt

SsW und WsS
  • zeichne die kleine Seite
  • zeichne einen Schenkel im gegebenen Winkel an den richtigen Eckpunkt der Seite
  • zeichne einen Kreisbogen um den anderen Eckpunkt der kleinen Seite mit dem Radius der Seitenlänge der großen Seite auf den Winkelschenkel
  • der Schnittpunkt von Kreisbogen und Winkelschenkel ist der dritte Punkt

SWS
  • zeichne eine Seite
  • zeichne die zweite Seite im angegebenen Winkel zur ersten
  • verbinde die freien Enden der Seiten

SSS
  • zeichne eine Seite
  • zeichne um die Eckpunkte Kreise mit den Radien der anderen beiden Seiten
  • ein Schnittpunkt der Kreise ist der dritte Punkt (Orientierung beachten)

→ Konstruktion mit den drei Seitenhalbierenden

© Arndt Brünner, 2000
Version: 31. 10. 2005
Graphik: 8. 12. 2018